661. В трапеции ABCD с основаниями AD = 10 и BC = 5 прямая, проходящая через точку A и середину диагонали BD, пересекает сторону CD в точке L и прямую BC в точке K. Найдите LD, если CD = 9.

Пусть M — середина BD. Введём координаты: A(0; 0), D(10; 0), B(x; h), C(x + 5; h). Тогда M имеет координаты ((x + 10)/2; h/2).

Точка на прямой AM с параметром t имеет координаты (t(x + 10)/2; th/2). На отрезке DC точка с такой же высотой соответствует доле t/2 пути от D к C, поэтому её абсцисса равна 10 + (t/2)(x − 5). Приравниваем абсциссы:

t(x + 10)/2 = 10 + t(x − 5)/2, откуда 15t/2 = 10 и t = 4/3.

Значит, точка L расположена на продолжении DC за точку C и DL составляет 2/3 длины CD.

Ответ: LD = (2/3) · 9 = 6.