670. Окружности радиусов 13 и 20 пересекаются в двух точках, расстояние между которыми равно 24. Найдите расстояние между радиусами, проведёнными к общей касательной этих окружностей.

Пусть d — расстояние между центрами окружностей. Общая хорда длиной 24 имеет половину длины 12. Расстояния от центров до этой хорды равны √(13² − 12²) = 5 и √(20² − 12²) = 16. Центры находятся по разные стороны общей хорды, поэтому d = 5 + 16 = 21.

Радиусы, проведённые к общей внешней касательной, перпендикулярны ей. Расстояние между точками касания вместе с разностью радиусов образует прямоугольный треугольник с гипотенузой d. Искомое расстояние равно √(21² − (20 − 13)²) = √392 = 14√2.

Ответ: 14√2.