67. Даны квадратные трёхчлены x² − 6x + 11 и −x² + 6x − 11. Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

Выделим полный квадрат:

\(x^2-6x+11=(x-3)^2+2\). Поскольку \((x-3)^2\geq 0\), первый трёхчлен не меньше 2, значит, он не принимает отрицательных значений.

\(-x^2+6x-11=-\bigl((x-3)^2+2\bigr)=-(x-3)^2-2\). Это выражение не больше −2, значит, второй трёхчлен не принимает положительных значений.