70. (Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь. 1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника. 2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение. 3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

1) Пусть один катет равен \(x\) см. Тогда второй равен \(6-x\) см, где \(0<x<6\). Площадь: \(S(x)=\frac{x(6-x)}{2}=-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{9}{2}\) см².

2) Поскольку \((x-3)^2\geq 0\), площадь максимальна при \(x=3\). Тогда оба катета равны 3 см.

3) \(S(3)=\frac{3\cdot3}{2}=4{,}5\) см².

Ответ: наибольшую площадь имеет треугольник с катетами 3 см и 3 см; площадь равна 4,5 см².