670. 1) 1 + 2 sin x = sin 2x + 2 cos x; 2) 1 + 3 cos x = sin 2x + 3 sin x.

1. Перенесём выражения и используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \(1+2\sin x-2\sin x\cos x-2\cos x=0\). Обозначим \(v=\cos x-\sin x\). Тогда \((\cos x+\sin x)^2=2-v^2\), и уравнение сводится к \(v(2-v)=0\). Так как \(|v|\leq\sqrt2\), значение \(v=2\) невозможно. Поэтому \(\cos x=\sin x\).
2. Перенесём выражения: \(1+3\cos x-2\sin x\cos x-3\sin x=0\). Обозначим \(v=\sin x-\cos x\). Используя \((\sin x+\cos x)^2=2-v^2\), получаем \(v(3-v)=0\). Поскольку \(|v|\leq\sqrt2\), остаётся \(v=0\), то есть \(\sin x=\cos x\).

В обоих случаях \(\sin x=\cos x\), поэтому \(x=\pi/4+\pi k\).

Ответ: 1), 2) \(x=\pi/4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).