Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
- Так как \(1-\sin^2x=\cos^2x\), имеем \(\cos^2x+\sin^22x=0\). Подставим \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \(\cos^2x(1+4\sin^2x)=0\). Второй множитель положителен, значит \(\cos x=0\).
- Из \(\sin^2x+\cos^22x=1\) следует \(\cos^22x=\cos^2x\), то есть \(\cos2x=\cos x\) или \(\cos2x=-\cos x\). Подставляя \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получаем \(\cos x\in\{1,-1,1/2,-1/2\}\).
- Положим \(y=4x\). Тогда \(6\cos^22x-4=3\cos4x-1\), поэтому \(\sin y-3\cos y=-1\). Пусть \(\delta=\arctan3\), \(\alpha=\arcsin(1/\sqrt{10})\). Тогда \(\sqrt{10}\sin(y-\delta)=-1\), откуда \(y-\delta=-\alpha+2\pi k\) или \(y-\delta=\pi+\alpha+2\pi k\).
- Используем \(2\cos^23x=1+\cos6x\). Уравнение сводится к \(\cos6x+\sin5x=0\). По формуле суммы синусов: \(2\sin(\pi/4+11x/2)\cos(\pi/4+x/2)=0\).
Ответ: 1) \(x=\pi/2+\pi k\); 2) \(x=\pi k\), \(x=\pi/3+2\pi k\), \(x=2\pi/3+2\pi k\), \(x=4\pi/3+2\pi k\) или \(x=5\pi/3+2\pi k\); 3) \(x=(\delta-\alpha)/4+\pi k/2\) или \(x=(\delta+\pi+\alpha)/4+\pi k/2\), где \(\delta=\arctan3\), \(\alpha=\arcsin(1/\sqrt{10})\); 4) \(x=2\pi k/11-\pi/22\) или \(x=\pi/2+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
