676. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r=5см, ∠A=60°; б) r, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°.

Краткое пояснение:

Для решения используем свойства касательных к окружности и тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Пошаговое решение:

а) Найдем ОА, если r=5см, ∠A=60°

• Шаг 1: Пусть стороны угла А касаются окружности в точках В и С. Тогда ОВ ⊥ АВ и ОС ⊥ АС.
• Шаг 2: Треугольники ОВА и ОСА прямоугольные (углы при В и С равны 90°).
• Шаг 3: Отрезок ОА является биссектрисой угла А (по свойству касательных, проведенных из одной точки).
• Шаг 4: Следовательно, угол ОАВ = Угол ОАС = ∠A / 2 = 60° / 2 = 30°.
• Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ОВА, OB = r = 5 см (катет, противолежащий углу 30°).
• Шаг 6: Используем соотношение tg(30°) = OB / AB. Неизвестно AB.
• Шаг 7: Используем соотношение sin(30°) = OB / OA.
• Шаг 8: Из этого соотношения находим OA: OA = OB / sin(30°).
• Шаг 9: Так как sin(30°) = 1/2, то OA = 5 см / (1/2) = 10 см.

б) Найдем r, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°

• Шаг 1: Аналогично, треугольники ОВА и ОСА прямоугольные.
• Шаг 2: Отрезок ОА является биссектрисой угла А.
• Шаг 3: Угол ОАВ = Угол ОАС = ∠A / 2 = 90° / 2 = 45°.
• Шаг 4: В прямоугольном треугольнике ОВА, угол ОВА = 90°, угол ОАВ = 45°, следовательно, угол АОВ = 180° - 90° - 45° = 45°.
• Шаг 5: Треугольник ОВА является равнобедренным (углы при основании АВ равны 45°), поэтому OB = AB.
• Шаг 6: OB = r (радиус окружности).
• Шаг 7: Используем теорему Пифагора для треугольника ОВА: OA² = OB² + AB².
• Шаг 8: Так как OB = AB = r, то OA² = r² + r² = 2r².
• Шаг 9: Из этого соотношения находим r: r² = OA² / 2, следовательно, r = OA / √2.
• Шаг 10: Подставляем значение OA = 14 дм: r = 14 дм / √2 = (14√2) / 2 дм = 7√2 дм.

Ответ: а) 10 см; б) 7√2 дм.