7.104. Укажите наибольшее целое решение неравенства (x² - 8x + 16) / ((5 - x)² * (4 + x)) ≤ 0.

Решение:

Данное неравенство: \( \frac{x^2 - 8x + 16}{(5-x)^2 (4+x)} \le 0 \)

Выделим множители:

• Числитель: \( x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 \)
• Знаменатель: \( (5-x)^2 (4+x) = (x-5)^2 (x+4) \)

Исходное неравенство принимает вид: \( \frac{(x-4)^2}{(x-5)^2 (x+4)} \le 0 \)

Рассмотрим знаки выражений:

• \( (x-4)^2 \ge 0 \) для всех \( x \)
• \( (x-5)^2 \ge 0 \) для всех \( x \)
• Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
  e 5 \) и \( x
  e -4 \)

Таким образом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( x+4 \) было отрицательным, а числитель и \( (x-5)^2 \) неотрицательными. Учитывая, что \( (x-4)^2 \ge 0 \) и \( (x-5)^2 > 0 \) (так как \( x
e 5 \)), неравенство сводится к \( \frac{\ge 0}{>0 · (x+4)} \le 0 \).

Это возможно только если \( x+4 < 0 \) и \( x
e 4 \) (так как \( (x-4)^2 \ge 0 \), \( x=4 \) является решением).

Следовательно, \( x < -4 \) или \( x = 4 \).

Наибольшее целое решение — это 4.

Финальный ответ:

Ответ: 4