7.111. Сколько числовых промежутков содержит решение неравенства (x² - 3x - 4) / (x - 7)² ≤ 0?

Решение:

Данное неравенство: \( \frac{x^2 - 3x - 4}{(x-7)^2} \le 0 \)

Разложим числитель на множители: \( x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1) \)

Неравенство принимает вид: \( \frac{(x-4)(x+1)}{(x-7)^2} \le 0 \)

Знаменатель \( (x-7)^2 \ge 0 \) для всех \( x \), но \( (x-7)^2
e 0 \), то есть \( x
e 7 \).

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( (x-4)(x+1) \le 0 \).

Решим \( (x-4)(x+1) \le 0 \) методом интервалов:

• Критические точки: \( x = 4 \) и \( x = -1 \).
• Интервалы: \( (-\infty, -1] \), \( [-1, 4] \), \( [4, \infty) \).
• При \( x < -1 \) (например, -2): \( (-2-4)(-2+1) = (-6)(-1) = 6 > 0 \)
• При \( -1 \le x \le 4 \) (например, 0): \( (0-4)(0+1) = (-4)(1) = -4 \le 0 \)
• При \( x > 4 \) (например, 5): \( (5-4)(5+1) = (1)(6) = 6 > 0 \)

Таким образом, \( (x-4)(x+1) \le 0 \) при \( x \in [-1, 4] \).

Теперь учтем ограничение \( x
e 7 \). Поскольку \( 7 \) не входит в интервал \( [-1, 4] \), это ограничение не влияет на решение.

Решением неравенства является интервал \( [-1, 4] \).

Этот интервал представляет собой один числовой промежуток.

Финальный ответ:

Ответ: 1