7.108. Найдите сумму целых решений неравенства x² / ((4-x)(x+1)) ≤ 0, удовлетворяющих условию -3 < x < 7.

Решение:

Данное неравенство: \( \frac{x^2}{(4-x)(x+1)} \le 0 \)

Числитель \( x^2 \ge 0 \) для всех \( x \). Знаменатель \( (4-x)(x+1)
e 0 \), то есть \( x
e 4 \) и \( x
e -1 \).

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным, или числитель был равен 0 (что дает \( x=0 \)).

Рассмотрим знак знаменателя \( (4-x)(x+1) \):

• Критические точки: \( x = 4 \) и \( x = -1 \).
• Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 4) \), \( (4, \infty) \).
• При \( x < -1 \) (например, -2): \( (4-(-2))(-2+1) = (6)(-1) = -6 < 0 \)
• При \( -1 < x < 4 \) (например, 0): \( (4-0)(0+1) = (4)(1) = 4 > 0 \)
• При \( x > 4 \) (например, 5): \( (4-5)(5+1) = (-1)(6) = -6 < 0 \)

Знаменатель \( (4-x)(x+1) < 0 \) при \( x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \).

Объединяем это с условием \( x=0 \) (когда числитель равен 0). Получаем решения: \( x \in (-\infty, -1) \cup \{0\} \cup (4, \infty) \).

Теперь учтем условие \( -3 < x < 7 \).

Найдем целые решения в этом интервале:

• Из \( (-\infty, -1) \) попадают: \( -2 \). (Так как \( -3 < x \), то \( -3 \) не включается).
• \( x=0 \) попадает в интервал.
• Из \( (4, \infty) \) попадают: \( 5, 6 \). (Так как \( x < 7 \), то \( 7 \) не включается).

Целые решения в заданном интервале: \( -2, 0, 5, 6 \).

Сумма этих решений: \( -2 + 0 + 5 + 6 = 9 \).

Финальный ответ:

Ответ: 9