7.106. Найдите сумму отрицательных решений неравенства (x² + 12x + 36) / ((x + 3)(4 - x)) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство: \( \frac{x^2 + 12x + 36}{(x+3)(4-x)} \ge 0 \)

Разложим на множители:

• Числитель: \( x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2 \)
• Знаменатель: \( (x+3)(4-x) \)

Неравенство принимает вид: \( \frac{(x+6)^2}{(x+3)(4-x)} \ge 0 \)

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был положительным, так как числитель \( (x+6)^2 \ge 0 \) для всех \( x \). Также, \( x
e -3 \) и \( x
e 4 \).

Рассмотрим знак знаменателя \( (x+3)(4-x) \):

• Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 4 \).
• Интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 4) \), \( (4, \infty) \).
• При \( x < -3 \) (например, -5): \( (-5+3)(4-(-5)) = (-2)(9) = -18 < 0 \)
• При \( -3 < x < 4 \) (например, 0): \( (0+3)(4-0) = (3)(4) = 12 > 0 \)
• При \( x > 4 \) (например, 5): \( (5+3)(4-5) = (8)(-1) = -8 < 0 \)

Знаменатель \( (x+3)(4-x) > 0 \) при \( x \in (-3, 4) \).

Теперь учтем числитель \( (x+6)^2 \ge 0 \).

Неравенство \( \frac{(x+6)^2}{(x+3)(4-x)} \ge 0 \) выполняется, если:

• \( x = -6 \) (числитель равен 0).
• \( (x+3)(4-x) > 0 \), то есть \( x \in (-3, 4) \).

Объединяем эти условия: \( x = -6 \) или \( x \in (-3, 4) \).

Нас интересуют отрицательные решения. Это \( x = -6 \) и \( x \in (-3, 0) \).

Отрицательные целые решения: \( -6, -2, -1 \).

Сумма отрицательных решений: \( -6 + (-2) + (-1) = -9 \).

Финальный ответ:

Ответ: -9