7.11. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции s = f(t), если: а) f(t) = 1 − (cos² t − sin² t); б) f(t) = 1 − sin t · cos t · tg t; в) f(t) = sin t + 3 sin² t + 3 cos² t; г) f(t) = cos² t · tg² t + 5 cos² t − 1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Используем формулу \(\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t\): \(f(t)=1-\cos 2t\). Так как \(-1\leq\cos 2t\leq1\), получаем \(0\leq f(t)\leq2\).
Наименьшее значение — 0, наибольшее — 2.
б) При допустимых значениях \(t\): \(\cos t\cdot\operatorname{tg}t=\sin t\), поэтому \(f(t)=1-\sin^2t=\cos^2t\). Следовательно, \(0\leq f(t)\leq1\).
Наименьшее значение — 0, наибольшее — 1.
в) \(f(t)=\sin t+3(\sin^2t+\cos^2t)=\sin t+3\). Поскольку \(-1\leq\sin t\leq1\), имеем \(2\leq f(t)\leq4\).
Наименьшее значение — 2, наибольшее — 4.
г) \(\cos^2t\cdot\operatorname{tg}^2t=\sin^2t\), поэтому \(f(t)=\sin^2t+5\cos^2t-1=4\cos^2t\). Отсюда \(0\leq f(t)\leq4\).
Наименьшее значение — 0, наибольшее — 4.

Ответ: