Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 7.16. Докажите тождество: а) ((sin t + cos t)² − 1)/(ctg t − sin t cos t) = 2 tg² t; б) sin³ t (1 + ctg t) + cos³ t (1 + tg…Фото задания

Ответ:

  1. а) Числитель: \((\sin t+\cos t)^2-1=2\sin t\cos t\). Знаменатель: \(\operatorname{ctg}t-\sin t\cos t=\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t=\frac{\cos^3t}{\sin t}\). Следовательно, левая часть равна \(\frac{2\sin t\cos t}{\cos^3t/\sin t}=2\operatorname{tg}^2t\).
  2. б) Раскроем скобки: \(\sin^3t+\sin^2t\cos t+\cos^3t+\cos^2t\sin t\). Сгруппируем: \((\sin t+\cos t)(\sin^2t-\sin t\cos t+\cos^2t)+\sin t\cos t(\sin t+\cos t)\). Вынесем общий множитель и используем \(\sin^2t+\cos^2t=1\): получается \((\sin t+\cos t)\cdot1=\sin t+\cos t\). Тождество доказано.