7.15. Докажите тождество: а) 1 + sin t = (cos t + ctg t)/ctg t; б) (1 − sin t)/cos t = cos t/(1 + sin t); в) (sin t + tg t)/tg t = 1 + cos t; г) sin t/(1 − cos t) = (1 + cos t)/sin t.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) \(\frac{\cos t+\operatorname{ctg}t}{\operatorname{ctg}t}=\frac{\cos t}{\operatorname{ctg}t}+1=\sin t+1\). Тождество доказано.
б) Умножим числитель и знаменатель левой части на \(1+\sin t\): \(\frac{1-\sin t}{\cos t}=\frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{\cos t(1+\sin t)}=\frac{\cos^2t}{\cos t(1+\sin t)}=\frac{\cos t}{1+\sin t}\).
в) \(\frac{\sin t+\operatorname{tg}t}{\operatorname{tg}t}=\frac{\sin t}{\operatorname{tg}t}+1=\cos t+1\). Тождество доказано.
г) Домножим числитель и знаменатель левой части на \(1+\cos t\): \(\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{\sin t(1+\cos t)}{1-\cos^2t}=\frac{1+\cos t}{\sin t}\).

Ответ: