7.13. Упростите выражение: а) sin t/(1 + cos t) + sin t/(1 − cos t); б) ctg² t · (cos² t − 1) + 1; в) cos t/(1 + sin t) + cos t/(1 − sin t); г) (tg t + 1)/(1 + ctg t).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Приводим к общему знаменателю: \(\frac{\sin t(1-\cos t)+\sin t(1+\cos t)}{1-\cos^2t}=\frac{2\sin t}{\sin^2t}=\frac2{\sin t}\).
б) \(\operatorname{ctg}^2t(\cos^2t-1)+1=-\operatorname{ctg}^2t\sin^2t+1=-\cos^2t+1=\sin^2t\).
в) \(\frac{\cos t(1-\sin t)+\cos t(1+\sin t)}{1-\sin^2t}=\frac{2\cos t}{\cos^2t}=\frac2{\cos t}\).
г) Так как \(1+\operatorname{ctg}t=1+\frac1{\operatorname{tg}t}=\frac{1+\operatorname{tg}t}{\operatorname{tg}t}\), дробь равна \(\operatorname{tg}t\).

Ответ: