7.12. Упростите выражение: а) ctg t − (cos t − 1)/sin t; б) ctg² t − (sin⁻² t − 1); в) cos² t − (ctg² t + 1) · sin² t; г) (sin² t − 1)/(cos² t − 1) + tg t · ctg t.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) \(\operatorname{ctg}t-\frac{\cos t-1}{\sin t}=\frac{\cos t}{\sin t}-\frac{\cos t}{\sin t}+\frac1{\sin t}=\frac1{\sin t}\).
б) По тождеству \(\sin^{-2}t-1=\operatorname{ctg}^2t\), выражение равно \(0\).
в) \(\operatorname{ctg}^2t+1=\frac1{\sin^2t}\), поэтому \(\cos^2t-(\operatorname{ctg}^2t+1)\sin^2t=\cos^2t-1=-\sin^2t\).
г) \(\frac{\sin^2t-1}{\cos^2t-1}+\operatorname{tg}t\cdot\operatorname{ctg}t=\frac{-\cos^2t}{-\sin^2t}+1=\operatorname{ctg}^2t+1=\frac1{\sin^2t}\).

Ответ: