7) \(2\sqrt{x+\sqrt{6x^2+1}}<x+1\)

Выражение под внутренним корнем определено при всех \(x\). Внешний корень также определён: \(\sqrt{6x^2+1}>|x|\), поэтому \(x+\sqrt{6x^2+1}>0\). Левая часть положительна, значит, необходимо \(x+1>0\), то есть \(x>-1\).

При \(x>-1\) обе части неравенства положительны, поэтому возводим в квадрат: \(4(x+\sqrt{6x^2+1})<(x+1)^2\). Переносим \(x\) и делим на 4: \(\sqrt{6x^2+1}<\frac{(x-1)^2}{4}\).

Правая часть неотрицательна; после повторного возведения в квадрат получаем \((x-1)^4-96x^2-16>0\).

На области \(x>-1\) это выполняется при \(x>\alpha\), где \(\alpha\) — единственный корень уравнения \((x-1)^4-96x^2-16=0\) на этой области (приблизительно \(\alpha\approx11.68\)).

Ответ: \(x>\alpha\), где \(\alpha\) определён указанным уравнением.