7. a) \(\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}\)

Решение:

Представим знаменатель как сумму кубов: \( 8p^3 + 1 = (2p)^3 + 1^3 \). Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).

Тогда \( 8p^3 + 1 = (2p + 1)((2p)^2 - 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p + 1)(4p^2 - 2p + 1) \).

Подставим это в дробь:

\(\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1} = \frac{4p^2 - 2p + 1}{(2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)}\)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\(\frac{\cancel{4p^2 - 2p + 1}}{(2p + 1)\cancel{(4p^2 - 2p + 1)}}} = \frac{1}{2p + 1}\)

Ответ: \(\frac{1}{2p + 1}\).