7. ABCD — трапеция, BC = 5, AD = 15, AB = CD. Диагонали перпендикулярны. CE ⟂ AD, E ∈ AD. Найти: CE.

Равенство боковых сторон AB = CD означает, что трапеция равнобедренная. Разность оснований делится поровну у двух краёв: AE = (AD − BC)/2 = (15 − 5)/2 = 5.

Введём координаты: A = (0, 0), D = (15, 0). Тогда B = (5, h), C = (10, h), где h = CE. Векторы диагоналей AC = (10, h) и BD = (10, −h). По условию они перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:

10 · 10 + h · (−h) = 0, откуда h² = 100. Так как высота положительна, h = 10.

Ответ: CE = 10.