8. ABCD — трапеция, ∠ABC = 135°. По рисунку ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, AD = 30. Найти: BC.

В треугольнике BCD сумма углов равна 180°, поэтому ∠CBD = 180° − 90° − 45° = 45°. Следовательно, треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, и BC = CD.

Поскольку BC ∥ AD, соседние углы при боковой стороне CD дополнительны: ∠CDA = 180° − 90° = 90°. Поэтому треугольник ACD прямоугольный при D. Угол ADC образован диагональю BD и основанием AD; по схеме ∠BDA = 45° (так как BD составляет 45° с CD, а CD ⟂ AD). Значит, треугольник ABD имеет углы 135° при B и 45° при D, а ∠BAD = 0° — невозможная конфигурация при данных углах.

На изображении отметка 45° стоит между BD и CD, а ∠ABC = 135°. Эти данные противоречат друг другу: поскольку BC ⟂ CD и ∠BDC = 45°, в треугольнике BCD угол CBD равен 45°, следовательно, угол между BC и BA уже не согласуется с изображённой трапецией без дополнительных уточнений. По этой причине найти BC однозначно нельзя: требуется уточнить, где именно указан угол 45° или значение ∠ABC.