7) ABCD — трапеция, BD = 3, CD = √3. По рисунку ∠ABD = 60°, ∠BDA = 45°, ∠BCD = 90°. Найдите S_ABCD.

Разобьём трапецию диагональю \(BD\) на треугольники \(ABD\) и \(BCD\).

В треугольнике \(ABD\):

\[\angle A=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ.\]

По теореме синусов:

\[AB=\frac{BD\sin45^\circ}{\sin75^\circ},\qquad AD=\frac{BD\sin60^\circ}{\sin75^\circ}.\]

Поэтому

\[S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot\sin105^\circ=\frac{9(3-\sqrt3)}4.\]

Треугольник \(BCD\) прямоугольный, его гипотенуза \(BD=3\), а катет \(CD=\sqrt3\). Второй катет:

\[BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt6.\]

Тогда

\[S_{BCD}=\frac12\cdot\sqrt3\cdot\sqrt6=\frac{3\sqrt2}{2}.\]

Следовательно,

\[S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{9(3-\sqrt3)}4+\frac{3\sqrt2}{2}.\]

Ответ: \(\frac{9(3-\sqrt3)}4+\frac{3\sqrt2}{2}\)