7. ∠ACB = 90°, AB = 25, AE — ? На рисунке CD ⟂ AB, CD = 12, E — точка пересечения окружности с AC, а AD = AE — радиус окружности с центром A.

Так как CD — высота к гипотенузе AB, для прямоугольного треугольника применяем свойство высоты:

\(CD^2=AD\cdot DB\).

Пусть \(AD=x\). Тогда \(DB=25-x\), поэтому:

\(12^2=x(25-x)\).

\(144=25x-x^2\), или \(x^2-25x+144=0\).

\(x=9\) или \(x=16\).

По рисунку точка D расположена так, что \(AD>DB\), следовательно, \(AD=16\). Поскольку AE и AD — радиусы одной окружности, \(AE=AD\).

Ответ: \(AE=16\).