7. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка P принадлежит BB₁, B₁P = BP. а) Построить точку пересечения прямой DP с плоскостью ABC. б) Построить линию пересечения плоскостей AD₁P и ABB₁. в) Вычислить длину отрезков AP и AD₁, если AB = a.

Так как P лежит на BB₁ и B₁P = BP, точка P — середина ребра BB₁.

а) Плоскости DP и ABC здесь означают прямую DP и плоскость ABC. Проведите DP. Продлите её до пересечения с плоскостью ABC и обозначьте точку пересечения через X. Для построения: продолжение DP пересекает плоскость основания на продолжении прямой DB; поскольку P — середина BB₁, точка X лежит на луче DB за B и BX = BD. Следовательно, X — точка на DB-прямой, для которой B является серединой DX.

б) Точка A принадлежит обеим плоскостям. Точка P также принадлежит плоскости ABB₁, а по условию — плоскости AD₁P. Поэтому линия пересечения этих плоскостей — прямая AP.

в) Пусть ребро куба равно a. В прямоугольном треугольнике ABB₁ точка P — середина BB₁, поэтому AB = a, BP = a/2.

По теореме Пифагора: \(AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\).

Диагональ грани AD₁: \(AD_1=\sqrt{AD^2+DD_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\).

Ответ: а) X — точка на продолжении DB за B, причём BX = BD; б) прямая AP; в) AP = a√5/2, AD₁ = a√2.