7. Дано: ABCD — квадрат; E и F лежат на диагонали AC, причём AE = FC. Доказать: BFDE — ромб.

1. Диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Отражение относительно перпендикулярного к AC направления, проходящего через центр квадрата, переводит B в D и E в F, поскольку AE = FC.
2. Отражение сохраняет расстояния, поэтому BF = DE и FD = EB.
3. Кроме того, равенство AE = FC означает, что E и F симметричны относительно середины AC; из той же симметрии следует BF = FD.
4. Значит, все стороны четырёхугольника BFDE равны, поэтому он является ромбом.

Что и требовалось доказать.