9. Дано: ABCD — квадрат; точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на AB, BC, CD, DA; отмеченные равные отрезки у вершин задают BB₁ = CC₁ = DD₁ = AA₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.

Пусть сторона квадрата равна a, а общий отмеченный отрезок равен x. Выберем координаты A(0, 0), B(0, a), C(a, a), D(a, 0). Тогда A₁(0, x), B₁(x, a), C₁(a, a − x), D₁(a − x, 0).

1. Векторы соседних сторон равны AB₁ = (x, a − x) и B₁C₁ = (a − x, −x).
2. Их скалярное произведение равно x(a − x) − x(a − x) = 0. Значит, соседние стороны перпендикулярны.
3. Кроме того, противоположные стороны параллельны: AB₁ и C₁D₁ имеют противоположные направления, как и B₁C₁ и D₁A₁. Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Что и требовалось доказать.