8. Дано: ABCD — квадрат; точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на AB, BC, CD, DA; отмеченные равные отрезки у вершин задают AB₁ = BC₁ = CD₁ = DA₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — квадрат.

Обозначим сторону квадрата через a, а общий отмеченный отрезок — через x. Тогда для каждого соседнего отрезка внутреннего четырёхугольника горизонтальная и вертикальная составляющие равны a − x и x (в зависимости от направления обхода).

1. По теореме Пифагора каждая его сторона имеет длину √((a − x)² + x²), поэтому все четыре стороны равны.
2. Соседние стороны имеют направленные составляющие (a − x, x) и (−x, a − x). Их скалярное произведение равно −x(a − x) + x(a − x) = 0, значит, стороны перпендикулярны.
3. Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Что и требовалось доказать.