7) Докажите, что верно равенство: (a-x)(a+x)-b(b+2x)-(a-b-x)(a+b+x)=0

Решение:

Раскроем скобки в левой части равенства:

1. \( (a-x)(a+x) = a^2 - x^2 \)
2. \( b(b+2x) = b^2 + 2bx \)
3. \( (a-b-x)(a+b+x) = ((a-x)-b)((a+x)+b) \)
4. Используем формулу разности квадратов \( (m-n)(m+n) = m^2 - n^2 \), где \( m = a-x \) и \( n = b \) для первого множителя, и \( m = a+x \) и \( n = b \) для второго множителя.
5. \( (a-b-x)(a+b+x) = ((a-x)-b)((a+x)+b) \) — здесь не подходит формула разности квадратов.
6. Преобразуем третье выражение: \( (a-b-x)(a+b+x) = (a - (b+x))(a + (b+x)) = a^2 - (b+x)^2 = a^2 - (b^2 + 2bx + x^2) = a^2 - b^2 - 2bx - x^2 \)

Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство:

\( (a^2 - x^2) - (b^2 + 2bx) - (a^2 - b^2 - 2bx - x^2) \)

Раскроем скобки:

\( a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\( (a^2 - a^2) + (-x^2 + x^2) + (-b^2 + b^2) + (-2bx + 2bx) \)

\( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Левая часть равенства равна правой части. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано