Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 9) Вычислите наиболее рациональным способом: a) 3 * 0,83 * 3.17 + 1/4 * (0,83^3 + 3,17^3); 6) 0,5^2 - 0,5 / (0,4^2 +…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. а)

    Используем формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \) и формулу \( a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) \).

    Однако, более простым путем будет заметить, что \( 0.83 + 3.17 = 4 \).

    Выразим \( 3.17 \) как \( 4 - 0.83 \) или \( 0.83 \) как \( 4 - 3.17 \). Это не упрощает задачу.

    Заметим, что \( a=0.83 \) и \( b=3.17 \).

    \( 3ab + \frac{1}{4}(a^3 + b^3) \) — данное выражение не упрощается очевидным образом без калькулятора.

    Пересмотрим условие. Если бы было \( 3ab \) вместо \( 3 . 0.83 . 3.17 \), то можно было бы использовать \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \). Или \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

    Предположим, что имелось в виду: \( 3 . 0.83 . 3.17 + \frac{1}{4}(0.83^3 + 3.17^3) \). Без калькулятора вычислить это рационально сложно.

    Если принять, что задача предполагает использование формулы суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \) \( 0.83^3 + 3.17^3 = (0.83+3.17)(0.83^2 - 0.83 . 3.17 + 3.17^2) = 4(0.83^2 - 0.83 . 3.17 + 3.17^2) \) Тогда выражение становится: \( 3 . 0.83 . 3.17 + \frac{1}{4} . 4(0.83^2 - 0.83 . 3.17 + 3.17^2) = 3 . 0.83 . 3.17 + 0.83^2 - 0.83 . 3.17 + 3.17^2 \) \( = 2 . 0.83 . 3.17 + 0.83^2 + 3.17^2 \) Это все еще не выглядит рациональным для ручного вычисления.

    При отсутствии явной возможности для рационального упрощения, приведем решение с помощью калькулятора: \( 3 . 0.83 . 3.17 ≈ 7.9077 \) \( 0.83^3 ≈ 0.571787 \) \( 3.17^3 ≈ 31.855033 \) \( 0.83^3 + 3.17^3 ≈ 32.42682 \) \( \frac{1}{4}(0.83^3 + 3.17^3) ≈ 8.106705 \) \( 7.9077 + 8.106705 ≈ 16.014405 \)

    б)

    \( \frac{0.5^2 - 0.5}{0.4^2 + 2 \cdot 0.4 \cdot 0.1 + 0.01} \)

    Знаменатель: \( 0.4^2 + 2 \cdot 0.4 \cdot 0.1 + 0.01 = 0.16 + 0.08 + 0.01 = 0.25 \). Это \( (0.4+0.1)^2 = 0.5^2 \).

    Числитель: \( 0.5^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25 \).

    Итого: \( \frac{-0.25}{0.25} = -1 \).

  2. в)

    \( \frac{42^9}{(6^3)^2 \cdot 7^9} = \frac{(6 \cdot 7)^9}{6^{3 \cdot 2} \cdot 7^9} = \frac{6^9 \cdot 7^9}{6^6 \cdot 7^9} = \frac{6^9}{6^6} = 6^{9-6} = 6^3 = 216 \)

Ответ: а) ~16.01; б) -1; в) 216