7. Два автомобиля одновременно отправляются в 400-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Дано:

• S = 400 км
• v₁ = v₂ + 20 км/ч
• t₂ = t₁ + 1 ч

Решение:

1. Пусть v₁ - скорость первого автомобиля, t₁ - время первого автомобиля.
2. Пусть v₂ - скорость второго автомобиля, t₂ - время второго автомобиля.
3. Из условий задачи:
• v₁ = v₂ + 20
• t₂ = t₁ + 1
4. Время = Расстояние / Скорость:
• t₁ = 400 / v₁
• t₂ = 400 / v₂
5. Подставим выражения для времени во второе уравнение:
• 400 / v₂ = 400 / v₁ + 1
6. Выразим v₂ через v₁:
• v₂ = v₁ - 20
7. Подставим это в уравнение:
• 400 / (v₁ - 20) = 400 / v₁ + 1
8. Приведем к общему знаменателю:
• 400*v₁ = 400*(v₁ - 20) + 1*v₁*(v₁ - 20)
• 400*v₁ = 400*v₁ - 8000 + v₁² - 20*v₁
• 0 = -8000 + v₁² - 20*v₁
• v₁² - 20*v₁ - 8000 = 0
9. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-20)² - 4*1*(-8000) = 400 + 32000 = 32400
• √D = 180
10. Найдем v₁:
• v₁ = (-b ± √D) / 2a
• v₁ = (20 ± 180) / 2
• v₁ = (20 + 180) / 2 = 200 / 2 = 100
• v₁ = (20 - 180) / 2 = -160 / 2 = -80 (не подходит, скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 100 км/ч