7. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета с гипотенузой, равной 4√6 см, и углом 60°.

Решение:

Пусть \( ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( C \). Гипотенуза \( AB = 4\sqrt{6} \) см. Угол \( A = 60^{\circ} \). Вращение происходит вокруг катета \( AC \) (меньшего катета, так как напротив угла \( 30^{\circ} \), который равен \( 90^{\circ} - 60^{\circ} \)).

1. Найдем длины катетов:
• Катет \( BC \) (радиус основания конуса, \( r \)):
\( \sin A = \frac{BC}{AB} \implies \sin 60^{\circ} = \frac{r}{4\sqrt{6}} \)\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{4\sqrt{6}} \)\( r = 4\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{18} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.
• Катет \( AC \) (высота конуса, \( h \)):
\( \cos A = \frac{AC}{AB} \implies \cos 60^{\circ} = \frac{h}{4\sqrt{6}} \)\( \frac{1}{2} = \frac{h}{4\sqrt{6}} \)\( h = 4\sqrt{6} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{6} \) см.
2. Найдем объем конуса:

Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{2})^2 (2\sqrt{6}) \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (36 \times 2) (2\sqrt{6}) \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (72) (2\sqrt{6}) \)

\( V = 24 \pi (2\sqrt{6}) \)

\( V = 48\sqrt{6} \pi \) куб. см.

Ответ: \( 48\sqrt{6} \pi \) см³.