7. Найдите углы трапеции ABCD, если AB = BC, ∠D = 60°, а диагональ AC перпендикулярна CD.

Так как основания BC и AD параллельны, смежные углы при боковой стороне CD дополняют друг друга до 180°: ∠C = 120°.

В треугольнике ACD угол C прямой, а ∠D = 60°, поэтому ∠CAD = 30°.

Пусть AD = L, а BC = AB = x. Из прямоугольного треугольника ACD с углами 30°, 60° и 90° получаем AC = L/2, CD = (√3/2)L. Горизонтальная проекция CD на основание равна CD·cos 60° = (√3/4)L? Учитывая угол при D между AD и DC, горизонтальная проекция равна CD/2 = (√3/4)L; вертикальная составляющая равна 3L/4, что не согласуется с углом CAD = 30°. Следовательно, напрямую применим координатный разбор: при A=(0,0), D=(L,0), из ∠CAD=30° и CD ⟂ AC следует C=(L/2, √3L/6)? Это дает ∠D не 60°.

Схема допускает противоречие между указанным прямым углом, углом D=60° и параллельностью оснований: в прямоугольном треугольнике ACD угол D должен быть 60°, угол A — 30°, что определяет C на луче AC под 30° и DC под 120°. Тогда C=(L/2, √3L/2). Условие AB=BC при BC горизонтальном дает B=(-L/2, √3L/2), откуда ∠A=120°, ∠B=60°.

Ответ: ∠A = 120°, ∠B = 60°, ∠C = 120°, ∠D = 60°.