7. Найдите значение выражения $$\frac{9^{6.9^{1.5}}}{9^{7}}$$

Решение:

1. Применим свойство степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.
2. В нашем случае $$a=9$$. Показатель степени в числителе $$m = 6.9^{1.5}$$ и в знаменателе $$n = 7$$.
3. Показатель степени будет $$m - n = 6.9^{1.5} - 7$$.
4. Выражение примет вид: $$9^{6.9^{1.5} - 7}$$.
5. Заметим, что $$6.9^{1.5}$$ — это $$6.9$$ в степени $$1.5$$, что равно $$6.9 imes \sqrt{6.9}$$.
6. Это значение меньше 7.
7. Перепишем знаменатель $$9^7$$ как $$9^{6.9^{1.5} + (7 - 6.9^{1.5})}$$.
8. Или, более просто, если предположить, что $$9^{1.5}$$ было в числителе: $$\frac{9^6 \times 9^{1.5}}{9^7} = \frac{9^{7.5}}{9^7} = 9^{7.5-7} = 9^{0.5} = \sqrt{9} = 3$$.
9. Однако, если следовать точному написанию: $$\frac{9^{6 \cdot 9^{1.5}}}{9^{7}}$$.
10. Показатель степени в числителе: $$6 \times 9^{1.5}$$.
11. $$9^{1.5} = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$$.
12. Числитель: $$6 \times 27 = 162$$.
13. Выражение: $$\frac{9^{162}}{9^{7}}$$.
14. Используя свойство степеней: $$9^{162-7} = 9^{155}$$.
15. Если имелось в виду $$\frac{9^{6.9} \times 9^{1.5}}{9^7}$$, то: $$\frac{9^{6.9 + 1.5}}{9^7} = \frac{9^{8.4}}{9^7} = 9^{8.4 - 7} = 9^{1.4}$$.
16. Если имелось в виду $$\frac{9^{6} \cdot 9^{1.5}}{9^{7}}$$, то: $$\frac{9^{7.5}}{9^7} = 9^{0.5} = 3$$.
17. Исходя из написания, наиболее вероятен вариант $$\frac{9^{6} \cdot 9^{1.5}}{9^{7}}$$.

Ответ: 3