7. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}\) при \(a=3\), \(b=\frac{1}{7}\); \(\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}\) при \(a=3\), \(b=4\); \(\sqrt{9a^2 + 6ab + b^2}\) при \(a=\frac{5}{13}\), \(b=6\frac{11}{13}\)

Решение:

Распознаем формулы полного квадрата в каждом выражении под корнем:

• \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2 \)
• \( a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2 \)
• \( 9a^2 + 6ab + b^2 = (3a + b)^2 \)

Теперь вычислим значение каждого выражения:

1. \( \sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b| \)

Подставим \(a=3\), \(b=\frac{1}{7}\):

\( |3 + 4 · \frac{1}{7}| = |3 + \frac{4}{7}| = |\frac{21}{7} + \frac{4}{7}| = |\frac{25}{7}| = \frac{25}{7} \)

1. \( \sqrt{(a - 2b)^2} = |a - 2b| \)

Подставим \(a=3\), \(b=4\):

\( |3 - 2 · 4| = |3 - 8| = |-5| = 5 \)

1. \( \sqrt{(3a + b)^2} = |3a + b| \)

Подставим \(a=\frac{5}{13}\), \(b=6\frac{11}{13} = \frac{6 · 13 + 11}{13} = \frac{78 + 11}{13} = \frac{89}{13}\):

\( |3 · \frac{5}{13} + \frac{89}{13}| = |\frac{15}{13} + \frac{89}{13}| = |\frac{104}{13}| = 8 \)

Ответ: \(\frac{25}{7}\); 5; 8.