7. Покажите, что значение выражения \(\left(\frac{5\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{5\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\right)\sin\alpha\) не зависит от \(\alpha\).

Сложим дроби, учитывая, что \((1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\):

\(\left(\frac{5\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{5\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\right)\sin\alpha=\frac{5\sin\alpha\big((1-\cos\alpha)+(1+\cos\alpha)\big)}{\sin^2\alpha}\sin\alpha=10\).

Получается постоянное число, не зависящее от \(\alpha\) (при допустимых значениях выражения).

Ответ: 10.