7. Решите иррациональное уравнение \(\sqrt{2x+9}=\sqrt[3]{3x+1}\).

Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при \(3x+1\ge0\), то есть \(x\ge-\frac13\). На этой области обе части неотрицательны, и возведение в шестую степень равносильно исходному уравнению:

\((2x+9)^3=(3x+1)^2\), откуда после раскрытия скобок \(8x^3+99x^2+480x+728=0\).

При \(x\ge-\frac13\) все слагаемые в левой части последнего равенства положительны: в частности, \(8x^3+99x^2=x^2(8x+99)\ge0\), а \(480x+728\ge568>0\). Следовательно, равенство нулю невозможно.

Ответ: решений нет.