8. Упростите выражение \(\left(\frac{2}{x^{1/3}+y^{1/3}}+\frac{2}{x^{1/3}-y^{1/3}}\right):\frac{9x^{-1/3}y^{-2/3}}{x^{-2/3}-y^{-2/3}}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Сумма в скобках упрощается так:

\(\frac2{u+v}+\frac2{u-v}=\frac{2(u-v)+2(u+v)}{(u+v)(u-v)}=\frac{4u}{u^2-v^2}\).

Вторая дробь равна \(\frac{9u^{-1}v^{-2}}{u^{-2}-v^{-2}}=\frac{9u^{-1}v^{-2}}{(v^2-u^2)/(u^2v^2)}=\frac{9uv^0}{v^2-u^2}=-\frac{9u}{u^2-v^2}\).

Делим первую дробь на вторую: \(\frac{4u}{u^2-v^2}:\left(-\frac{9u}{u^2-v^2}\right)=-\frac49\).

Ответ: \(-\frac49\).