8. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 4√2.

Так как $$AC$$ — биссектриса $$\angle A = 45^{\circ}$$, то $$\angle BAC = \angle CAD = 22.5^{\circ}$$. Так как $$AD \parallel BC$$, то $$\angle BCA = \angle CAD = 22.5^{\circ}$$ (накрест лежащие углы). В треугольнике $$ABC$$, $$\angle ABC = 90^{\circ}$$, $$\angle BAC = 22.5^{\circ}$$, $$\angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$$. В трапеции $$ABCD$$, $$\angle A = 45^{\circ}$$, $$\angle B = 90^{\circ}$$. $$\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$ (если $$CD \perp AD$$). Если $$CD \perp AD$$, то $$\angle C = 90^{\circ}$$. $$\angle BCD = 90^{\circ}$$. $$\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$$. В треугольнике $$ACD$$, $$\angle CAD = 22.5^{\circ}$$, $$\angle ACD = 22.5^{\circ}$$. Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, $$AD = CD$$. Так как $$\angle A = 45^{\circ}$$ и $$\angle B = 90^{\circ}$$, то $$CD = AB$$. Значит, $$AD = AB$$. Меньшее основание $$BC = 4\sqrt{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, $$\tan(22.5^{\circ}) = BC/AB$$. $$AB = BC / \tan(22.5^{\circ}) = 4\sqrt{2} / (\sqrt{2}-1) = 4\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 8 + 4\sqrt{2}$$. $$AD = AB = 8 + 4\sqrt{2}$$. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$, $$BD^2 = AB^2 + AD^2$$. $$BD^2 = (8+4\sqrt{2})^2 + (8+4\sqrt{2})^2 = 2 * (8+4\sqrt{2})^2$$. $$BD = \sqrt{2} * (8+4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} + 8$$.