7. В прямоугольной трапеции основания равны 8 см и 10 см, а один из углов равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = \( \frac{a+b}{2} \) ⋅ h, где a и b — основания, h — высота.
2. Нам известны основания: a = 8 см, b = 10 см.
3. Нам нужно найти высоту (h).
4. В прямоугольной трапеции один из углов прямой (90°). Другой боковой угол нам дан — 45°.
5. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота будет равна одному из боковых ребер, если угол при другом основании 45°.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшим основанием, высотой и частью большего основания. В этом треугольнике один угол 90°, другой 45°, следовательно, третий угол тоже 45° (180° - 90° - 45°).
7. Треугольник с углами 45°, 45°, 90° — равнобедренный. Это значит, что его катеты равны.
8. Один катет — это высота (h), другой катет — это разница между основаниями (10 см - 8 см = 2 см).
9. Значит, высота h = 2 см.
10. Теперь вычислим площадь трапеции:
11. \( S = \frac{8 + 10}{2} \cdot 2 \)
12. \( S = \frac{18}{2} \cdot 2 \)
13. \( S = 9 \cdot 2 = 18 \)

Ответ: 18 см²