7. В прямоугольной трапеции основания равны 8 см и 10 см, а один из углов равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) / 2 * h, где a и b — основания, h — высота.

1. Основания трапеции известны: a = 8 см, b = 10 см.
2. Нужно найти высоту (h). В прямоугольной трапеции боковая сторона, не являющаяся основанием, перпендикулярна основаниям, то есть она и есть высота. Другая боковая сторона наклонена.
3. Проведем высоту из вершины меньшего основания (где угол 45°) к большему основанию. Эта высота будет равна одной из сторон, образующих прямой угол.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшим основанием, высотой и наклоненной боковой стороной. Угол при большем основании равен 45°.
5. В этом треугольнике высота (h) и отрезок, который образуется на большем основании (разность оснований: 10 - 8 = 2 см), являются катетами. Угол при основании равен 45°, значит, второй острый угол тоже 45° (180° - 90° - 45° = 45°).
6. Следовательно, треугольник равнобедренный, и высота (h) равна отрезку на большем основании.
7. \[ h = 10 - 8 = 2 \] см.
8. Теперь найдем площадь трапеции:
9. \[ S = \frac{8 + 10}{2} \times 2 = \frac{18}{2} \times 2 = 9 \times 2 = 18 \] см².

Ответ: 18 см²