8. (4 балла) Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч). Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{108}{v+3} \) часов.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{84}{v-3} \) часов.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 8 \) часов.

Составим уравнение:

\( \frac{108}{v+3} + \frac{84}{v-3} = 8 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v+3)(v-3) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 108(v-3) + 84(v+3) = 8(v+3)(v-3) \)

\( 108v - 324 + 84v + 252 = 8(v^2 - 9) \)

\( 192v - 72 = 8v^2 - 72 \)

\( 8v^2 - 192v = 0 \)

Вынесем \( 8v \) за скобки:

\( 8v(v - 24) = 0 \)

Это уравнение имеет два корня: \( v = 0 \) или \( v - 24 = 0 \).

\( v = 0 \) не подходит, так как собственная скорость не может быть равна нулю.

\( v = 24 \)

Проверим: Скорость по течению \( 24 + 3 = 27 \) км/ч. Время \( \frac{108}{27} = 4 \) часа. Скорость против течения \( 24 - 3 = 21 \) км/ч. Время \( \frac{84}{21} = 4 \) часа. Общее время \( 4 + 4 = 8 \) часов. Условие выполнено.

Ответ: 24 км/ч.