8. ABCD — трапеция, AD ∥ BC, ∠ABC = 135°. ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Дано: AD = 30. Найти: BC.

В треугольнике BCD угол C равен 90°, угол D равен 45°, значит ∠CBD = 45° и BC = CD.

Так как AD ∥ BC и CD ⟂ BC, также CD ⟂ AD. Поэтому треугольник ACD прямоугольный при C. Из ∠ABC = 135° следует, что острый угол между AB и AD равен 45°. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной AB и высотой, горизонтальный сдвиг от A до проекции B равен высоте CD. А из треугольника BCD с углами 45°, 45°, 90° следует BC = CD.

Таким образом, нижнее основание AD складывается из двух отрезков длиной BC: AD = BC + BC. Поэтому BC = 30/2 = 15.

Ответ: BC = 15.