8. ABCD — трапеция, BC ∥ AD. ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, AD = 30, ∠ABC = 135°. Найти BC.

В треугольнике BCD углы при C и D равны 90° и 45°, поэтому ∠CBD = 45°. Следовательно, треугольник BCD равнобедренный прямоугольный и BC = CD.

Обозначим BC = CD = x. Поскольку BC ∥ AD и CD ⟂ BC, высота трапеции равна CD, то есть x. Угол ABC равен 135°, поэтому боковая сторона AB образует с горизонталью угол 45°. Её горизонтальная проекция равна высоте, то есть x.

Значит, нижнее основание AD состоит из горизонтальной проекции AB и BC: 30 = x + x. Отсюда x = 15.

Ответ: BC = 15.