8. Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость баржи как $$v$$ км/ч.
   Скорость течения реки равна 5 км/ч.
2. Шаг 2: Скорость баржи по течению: $$v + 5$$ км/ч.
   Скорость баржи против течения: $$v - 5$$ км/ч.
3. Шаг 3: Время, затраченное на путь по течению: $$t_1 = \frac{56}{v+5}$$ ч.
   Время, затраченное на путь против течения: $$t_2 = \frac{54}{v-5}$$ ч.
4. Шаг 4: Общее время в пути составляет 5 часов: $$t_1 + t_2 = 5$$.
   $$ \frac{56}{v+5} + \frac{54}{v-5} = 5 $$
5. Шаг 5: Решаем полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $$(v+5)(v-5)$$:
   $$ 56(v-5) + 54(v+5) = 5(v+5)(v-5) $$
   $$ 56v - 280 + 54v + 270 = 5(v^2 - 25) $$
   $$ 110v - 10 = 5v^2 - 125 $$
6. Шаг 6: Перенесем все члены в одну сторону и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
   $$ 5v^2 - 110v - 115 = 0 $$
   Разделим на 5:
   $$ v^2 - 22v - 23 = 0 $$
7. Шаг 7: Найдем дискриминант: $$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$$.
   Найдем корни:
   $$v_1 = \frac{22 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$$.
   $$v_2 = \frac{22 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$.
8. Шаг 8: Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v = 23$$ км/ч.

Ответ: 23 км/ч