8. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 8. Углы вписанного четырехугольника

Дано:

• Четырехугольник \( ABCD \) вписан в окружность.
• \( \angle ABC = 54^{\circ} \)
• \( \angle CAD = 41^{\circ} \)

Найти: угол \( \angle ABD \).

Решение:

1. У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ} \).

\[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \]

2. Угол \( \angle ADC \) состоит из двух углов: \( \angle ADB \) и \( \angle CAD \).

\[ \angle ADC = \angle ADB + \angle CAD \]\[ 126^{\circ} = \angle ADB + 41^{\circ} \]\[ \angle ADB = 126^{\circ} - 41^{\circ} = 85^{\circ} \]

3. Углы \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) опираются на одну дугу \( AB \), значит, \( \angle ADB = \angle ACB = 85^{\circ} \).

4. Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну дугу \( AD \). Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD \).

5. Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу \( CD \), значит, \( \angle CBD = \angle CAD = 41^{\circ} \).

6. В треугольнике \( ABD \), сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \]

7. Нам нужно найти \( \angle ABD \). Рассмотрим угол \( \angle ABC = 54^{\circ} \). Он состоит из углов \( \angle ABD \) и \( \angle CBD \).

\[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \]\[ 54^{\circ} = \angle ABD + 41^{\circ} \]\[ \angle ABD = 54^{\circ} - 41^{\circ} = 13^{\circ} \]

Ответ: 13