8. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 60°. Найдите длину прямоугольника, если ширина равна 5√3.

Пусть длина прямоугольника равна \(L\), а ширина \(w=5\sqrt{3}\). Острый угол между диагоналями равен \(2\arctan(w/L)\). Поэтому \(2\arctan(w/L)=60^\circ\), откуда \(w/L=\tan 30^\circ=1/\sqrt{3}\).

Тогда \(L=w\sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=15\).

Ответ: 15.