8. Докажите, что если $$x - y - z = 0$$, то $$x(yz+1) - y(xz+1) - z(xy+1) = -xyz$$.

Решение:

1. Из условия $$x - y - z = 0$$ выразим $$x$$:
• $$x = y + z$$
2. Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
• $$(y+z)(yz+1) - y( (y+z)z+1 ) - z( (y+z)y+1 )$$
• Раскроем скобки:
• $$(y^2z + y + yz^2 + z) - y( yz + z^2 + 1 ) - z( y^2 + yz + 1 )$$
• $$y^2z + y + yz^2 + z - y^2z - yz^2 - y - yz^2 - y^2z - z$$
• Сгруппируем и сократим подобные члены:
• $$(y^2z - y^2z) + (y - y) + (yz^2 - yz^2) + (z - z) - yz^2 - yz^2$$
• $$-yz^2$$
• Что-то пошло не так. Пересмотрим второй шаг.
• Подставим $$x = y + z$$ во все места, где есть $$x$$.
• Левая часть: $$x(yz+1) - y(xz+1) - z(xy+1)$$
• $$(y+z)(yz+1) - y((y+z)z+1) - z((y+z)y+1)$$
• $$(y^2z+y+yz^2+z) - y(yz+z^2+1) - z(y^2+yz+1)$$
• $$y^2z+y+yz^2+z - y^2z-yz^2-y - y^2z-yz^2-z$$
• Сокращаем: $$(y^2z-y^2z) + (y-y) + (yz^2-yz^2) + (z-z) - y^2z - yz^2$$
• $$0 - y^2z - yz^2 = -yz(y+z)$$
• Поскольку $$x = y+z$$, то $$-yz(y+z) = -yzx$$.

Ответ: Равенство доказано.