8. Докажите, что при любом значении p уравнение x² - px + 2p² + 1 = 0 не имеет корней.

Решение:

Квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) не имеет корней, если его дискриминант \( D < 0 \).

В данном уравнении \( x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0 \) имеем:

\( a = 1 \)

\( b = -p \)

\( c = 2p^2 + 1 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 + 1) \]

\( D = p^2 - 8p^2 - 4 \)

\( D = -7p^2 - 4 \)

Рассмотрим полученное выражение для дискриминанта \( D = -7p^2 - 4 \).

При любом действительном значении \( p \), \( p^2 \) всегда больше или равно нулю \( (p^2 ≥ 0) \).

Следовательно, \( -7p^2 \) всегда меньше или равно нулю \( (-7p^2 ≤ 0) \).

Вычитая 4 из отрицательного или нулевого числа, мы всегда получим отрицательное число:

\( -7p^2 - 4 < 0 \)

Так как дискриминант \( D < 0 \) для любого значения \( p \), уравнение \( x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0 \) не имеет действительных корней.

Ответ: Дискриминант уравнения $$D = -7p^2 - 4$$. Так как $$p^2 ≥ 0$$, то $$-7p^2 ≤ 0$$, следовательно, $$D = -7p^2 - 4 < 0$$ для любого значения $$p$$. Значит, уравнение не имеет корней.