8. Моторная лодка прошла против течения реки 308 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( x \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).

Скорость лодки против течения: \( x - 3 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( x + 3 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{308}{x-3} \) часов.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{308}{x+3} \) часов.

По условию, \( t_{по} = t_{против} - 3 \).

Подставим выражения для времени:

\(\frac{308}{x+3} = \frac{308}{x-3} - 3\)

Умножим обе части уравнения на \( (x-3)(x+3) \) для избавления от знаменателей:

\( 308(x-3) = 308(x+3) - 3(x-3)(x+3) \)

Раскроем скобки:

\( 308x - 924 = 308x + 924 - 3(x^2 - 9) \)

\( 308x - 924 = 308x + 924 - 3x^2 + 27 \)

Сократим \( 308x \) в обеих частях:

\( -924 = 924 - 3x^2 + 27 \)

\( -924 = 951 - 3x^2 \)

Перенесём \( -3x^2 \) влево, а \( -924 \) вправо:

\( 3x^2 = 951 + 924 \)

\( 3x^2 = 1875 \)

Разделим обе части на 3:

\( x^2 = 625 \)

Извлечём квадратный корень:

\( x = \sqrt{625} \)

\( x = 25 \) (скорость не может быть отрицательной).

Проверим условие: \( t_{против} = \frac{308}{25-3} = \frac{308}{22} = 14 \) часов. \( t_{по} = \frac{308}{25+3} = \frac{308}{28} = 11 \) часов. \( 14 - 11 = 3 \) часа. Условие выполняется.

Ответ: 25 км/ч