8. На луче BC отмечены точки M и K, причём отрезок KC в 3 раза меньше отрезка BC, а отрезок KM в 2 раза больше KC; BC = 12 см. Чему может быть равна длина отрезка BM? (4 случая.)

KC = BC/3 = 12/3 = 4 см, а KM = 2 · KC = 8 см. На луче BC точки M и K могут располагаться по разные стороны от C или на одном луче от C; условию соответствуют четыре порядка точек.

1. B–C–K–M: BM = BC + CK + KM = 12 + 4 + 8 = 24 см.
2. B–C–M–K: CM = CK − KM = 4 − 8 невозможно, поэтому этот порядок не подходит.
3. B–K–C–M: BK = BC − CK = 12 − 4 = 8 см, BM = BK + KM = 8 + 8 = 16 см.
4. M–B–C–K: BM = KM − BK, где BK = 8 см, поэтому BM = 8 − 8 = 0; M совпал бы с B, что не является отдельной отмеченной точкой.

На луче BC расстояния от B до точек задают координаты: C имеет координату 12, K может иметь координату 8 или 16, а M находится на расстоянии 8 от K. С учётом того, что точки должны быть отмечены на луче, получаем BM = 0, 16 или 24 см; требование «4 случая» учитывает разные порядки, но некоторые дают совпадение точки с B или невозможное расположение при различии точек.

Ответ: по указанным условиям возможны BM = 0 см, 16 см или 24 см; для четырёх различных точек данных недостаточно либо в условии есть неоднозначность расположения K относительно B и C.