8. Найдите неизвестные углы. Параллелограмм MNKP; точка L лежит на стороне PM, LK ⟂ PM; по отметкам MK = NK; ∠PKL = 25°.

Так как L лежит на PM и LK ⟂ PM, треугольник PLK прямоугольный, ∠PLK = 90°. Тогда ∠KPL = 180° − 90° − 25° = 65°. Поскольку PL лежит на PM, ∠P = 65°.

Угол K параллелограмма смежный с углом P, поэтому ∠K = 180° − 65° = 115°. По отметкам MK = NK, значит, треугольник MNK равнобедренный с основанием MN. Угол при N равен углу при M, а угол N равен углу P, то есть 65°. Следовательно, ∠NMK = 65°.

Оставшаяся часть угла K равна ∠MKN = ∠K − ∠PKM = 115° − 25° = 90°, поскольку KL делит угол PKM на 25° и 90°? Здесь из данных следует только, что ∠PKL = 25° и KL перпендикулярен PM; прямая KL не является диагональю MK или KN. Поэтому отмеченный угол 25° относится к PKL, а не к углу между KP и KM. В треугольнике MKL прямой угол при L, но данных для его остальных углов нет.

По равенству MK = NK угол ∠MKN можно найти из треугольника MNK: ∠MKN = 180° − 65° − 65° = 50°. Тогда угол между KP и KM равен углу K параллелограмма минус ∠MKN: ∠PKM = 115° − 50° = 65°. Проверка показывает, что ∠PKL должен был бы быть 25° только при дополнительных сведениях о положении LK относительно угла PKM; заданные данные этого не обеспечивают. Из изображения также видно, что ∠PKL обозначен между KP и KL, поэтому в прямоугольном треугольнике PLK получаем 65°, независимо от угла ∠PKM.

Ответ: ∠P = ∠N = 65°, ∠K = ∠M = 115°; ∠MKN = 50°, ∠PKM = 65°. При данных отметках ∠PKL = 25° задаёт дополнительное положение LK и не меняет этих углов.