8. Найдите площадь равнобедренной трапеции ABCD, если AB = CD = 12, ∠D = 60°, а диагональ AC является биссектрисой угла A.

Высота трапеции равна \(12\sin60^\circ=6\sqrt3\), а проекция каждой боковой стороны на основание — \(12\cos60^\circ=6\). Так как трапеция равнобедренная, \(AD=BC+12\).

Углы A и D равны 60°. Диагональ AC делит угол A пополам, значит \(\angle CAD=30^\circ\). В прямоугольном треугольнике с высотой \(6\sqrt3\) горизонтальная проекция AC равна \(6\sqrt3/\tan30^\circ=18\). Следовательно, \(AD=6+18=24\), а \(BC=24-12=12\).

\(S=\frac{24+12}{2}\cdot6\sqrt3=108\sqrt3\).

Ответ: \(108\sqrt3\).